Κρούση και Τάση νήματος (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Το σώμα του παρακάτω σχήματος έχει μάζα  και ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου μη εκτατού νήματος μήκους . Σώμα μάζας  κινείται με ταχύτητα  και συγκρούεται πλαστικά με το σώμα . Να υπολογίσετε:

α) Την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το σώμα  ώστε μετά την πλαστική τους κρούση, το συσσωμάτωμα να διαγράψει μία πλήρη κυκλική τροχιά (να κάνει ανακύκλωση).

β) Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της μάζας  πριν και μετά την κρούση.

γ) Την τάση  του νήματος πριν την κρούση.

δ) Την τάση  του νήματος αμέσως μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας .

ΛΥΣΗ

Κύλινδρος-τροχαλία-σώμα (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Η κατακόρυφη τροχαλία του σχήματος, μάζας  και ακτίνας , μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Στο αυλάκι της τροχαλίας περνά νήμα που από το ένα άκρο του κρέμεται σώμα  μάζας  και στο άλλο άκρο του είναι δεμένος ένας κατακόρυφος τροχός  που έχει μάζα  και ακτίνα .

α) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης  ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμείνει ακίνητο.

Τη χρονική στιγμή  που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία έτσι ώστε να γίνει .

β) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος .

Για τη χρονική στιγμή που το σώμα  έχει ανέλθει κατά , να υπολογίσετε:

γ) Το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της.

δ) Τη μετατόπιση του τροχού από την αρχική του θέση.

ε) Το ποσοστό του έργου της δύναμης  που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού  κατά τη μετατόπιση του σώματος  κατά .

Δίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας , η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της  και του σώματος  ως προς τον άξονα περιστροφής του .

Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το νήμα είναι αβαρές. Ο τροχός  κυλίεται χωρίς ολίσθηση.

ΛΥΣΗ

Κυκλική κίνηση ράβδου (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Η ομογενής ράβδος ΑK στηρίζεται στο άκρο της Κ μέσω άρθρωσης και αρχικά κρέμεται κατακόρυφα (θέση Ι). Η ράβδος ΑΚ έχει μήκος  και μάζα . Στο άκρο της Α ασκούμε συνεχώς μια δύναμη  κάθετη στη ράβδο η οποία έχει σταθερό μέτρο, οπότε η ράβδος αρχίζει να ανεβαίνει. Όταν η ράβδος φτάσει στη θέση (ΙΙ), όπου σχηματίζει γωνία  με την κατακόρυφη, καταργείται η δύναμη και η ράβδος φτάνει στην κατακόρυφη θέση (ΙΙΙ), χωρίς γωνιακή ταχύτητα.

Να υπολογίσετε: 

α) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της στη θέση (ΙΙ).

β) Το έργο της δύναμης  για τη περιστροφή της ράβδου από τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ).

γ) Το μέτρο της δύναμης .

δ) Το ποσοστό του έργου της δύναμης  που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια της ράβδου κατά τη περιστροφή της από τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ).

Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο της Κ και είναι κάθετος σε αυτή: , η επιτάχυνση της βαρύτητας  και .

ΛΥΣΗ

Ανακύκλωση σφαίρας. (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Η ομογενής και συμπαγής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα  και ακτίνα  και αφήνεται από ύψος , να κινηθεί κατά μήκους κεκλιμένου επιπέδου και στη συνέχεια στο εσωτερικό της κυκλικής στεφάνης ακτίνας . Η σφαίρα κυλίεται συνεχώς χωρίς να ολισθαίνει. Για να κάνει η σφαίρα με ασφάλεια ανακύκλωση, να υπολογιστεί:

α) το μέτρο της ελάχιστης τιμής της ταχύτητάς της στο σημείο Δ.

β) το μέτρο της ελάχιστης γωνιακής ταχύτητας ως προς τον άξονα περιστροφής της, στο σημείο Γ.

γ) το μέτρο της κάθετης δύναμης που δέχεται από το οριζόντιο επίπεδο στη θέση Γ αν από τη θέση αυτή διέρχεται με γωνιακή ταχύτητα ίση με αυτή που υπολογίσατε στο ερώτημα β.

δ) το ελάχιστο ύψος .

Δίνονται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονά της , η επιτάχυνση της βαρύτητας  και .

ΛΥΣΗ