Ράβδος-σφαίρα κρούση (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας  και μήκους , μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το πάνω άκρο της και είναι κάθετος σε αυτή. Εκτρέπουμε τη ράβδο από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη. Τη στιγμή που περνάει από την κατακόρυφη θέση, το κάτω άκρο της συγκρούεται με σφαίρα ακτίνας  και μάζας  που βρίσκεται ακίνητη στο κατώτατο σημείο τεταρτοκυκλίου ακτίνας , του οποίου το κέντρο συμπίπτει με το σημείο εξάρτησης της ράβδου. Το κάτω άκρο της ράβδου την στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα . Αμέσως μετά την κρούση η ράβδος ακινητοποιείται.

Η σφαίρα ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο στην αρχή ολισθαίνοντας και μετά κυλιόμενη. Τελικά εγκαταλείπει το ανώτερο άκρο του τεταρτοκυκλίου με γωνιακή ταχύτητα . Να βρεθούν:

α) η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της.

β) η ταχύτητα  της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση.

γ) το ύψος h, πάνω από το τεταρτοκύκλιο, στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα.

δ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο ανώτατο σημείο της τροχιάς της.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σ’ αυτήν και διέρχεται από το κέντρο μάζας της,  και . 
Λύση