Ράβδος-σφαίρα κρούση (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας  και μήκους , μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το πάνω άκρο της και είναι κάθετος σε αυτή. Εκτρέπουμε τη ράβδο από τη θέση ισορροπίας της και την αφήνουμε ελεύθερη. Τη στιγμή που περνάει από την κατακόρυφη θέση, το κάτω άκρο της συγκρούεται με σφαίρα ακτίνας  και μάζας  που βρίσκεται ακίνητη στο κατώτατο σημείο τεταρτοκυκλίου ακτίνας , του οποίου το κέντρο συμπίπτει με το σημείο εξάρτησης της ράβδου. Το κάτω άκρο της ράβδου την στιγμή της κρούσης έχει ταχύτητα . Αμέσως μετά την κρούση η ράβδος ακινητοποιείται.

Η σφαίρα ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο στην αρχή ολισθαίνοντας και μετά κυλιόμενη. Τελικά εγκαταλείπει το ανώτερο άκρο του τεταρτοκυκλίου με γωνιακή ταχύτητα . Να βρεθούν:

α) η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της.

β) η ταχύτητα  της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση.

γ) το ύψος h, πάνω από το τεταρτοκύκλιο, στο οποίο θα φτάσει η σφαίρα.

δ) η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο ανώτατο σημείο της τροχιάς της.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σ’ αυτήν και διέρχεται από το κέντρο μάζας της,  και . 
Λύση

Περιστρεφόμενη παιδική πλατφόρμα (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Η κυκλική περιστρεφόμενη πλατφόρμα της παιδικής χαράς της γειτονιάς μας έχει ακτίνα , μάζα  και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της. Στο κέντρο της πλατφόρμας βρίσκεται ένα κορίτσι μάζας  και το σύστημα πλατφόρμα – κορίτσι περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα . Κάποια στιγμή το κορίτσι αρχίζει να περπατά προς την περιφέρεια της πλατφόρμας. Να βρείτε:

α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος πλατφόρμα-κορίτσι όταν το κορίτσι βρίσκεται στην περιφέρεια της πλατφόρμας.

β) τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος, όταν το κορίτσι φτάσει στην περιφέρεια της πλατφόρμας.

γ) την κεντρομόλο δύναμη που δέχεται το κορίτσι όταν φτάσει στην περιφέρεια της πλατφόρμας.

δ) την ελάχιστη τιμή που πρέπει να έχει ο συντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδου και παπουτσιών για να μπορεί το κορίτσι να περιστρέφεται χωρίς να κρατιέται όταν βρίσκεται στην περιφέρεια της πλατφόρμας.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της πλατφόρμας ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το μέσον της, . Για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας το κορίτσι να θεωρηθεί υλικό σημείο.

ΛΥΣΗ

Περιστροφή ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ, μάζας  και μήκους , μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από έναν οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α.

α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς της ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο, που διέρχεται από το άκρο Α.

Από την οριζόντια θέση αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο, να περιστραφεί γύρω απ’ το άκρο Α.

β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνσή της τη στιγμή που την αφήνουμε ελεύθερη.

γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνσή της στη θέση όπου αυτή έχει στραφεί κατά γωνία φ, τέτοια ώστε .

δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Κ, που είναι το κέντρο μάζας cm της ράβδου, στη θέση όπου αυτή έχει στραφεί κατά γωνία φ, τέτοια ώστε .

Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στην ράβδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της  και η επιτάχυνση της βαρύτητας . 

ΛΥΣΗ

Ισαάκ Νεύτων

Ισαάκ Νεύτων

Ο Ισαάκ Νεύτων γεννήθηκε πρόωρα και μετά βίας επέζησε, τα Χριστούγεννα του 1642, τον ίδιο χρόνο που πέθανε ο Γαλιλαίος. Ήρθε στον κόσμο στην οικία της μητέρας του στο Γούλσθορπ (Woolsthorpe) , στην Αγγλία. Ο πατέρας του πέθανε λίγους μήνες πριν από την γέννηση του γιου του, που μεγάλωσε με τη φροντίδα της μητέρας του και της γιαγιάς του. Ως παιδί ο Ισαάκ Νεύτων δεν έδειξε ιδιαίτερα στοιχεία ευφυΐας. Στα 14,5 χρόνια του τον πήραν από το σχολείο, για να δουλέψει στο αγρόκτημα της μητέρας του. Σαν αγρότης απέτυχε. Προτιμούσε να διαβάζει βιβλία που δανειζόταν από ένα γείτονα φαρμακοποιό. Κάποιος θείος του αισθάνθηκε το λόγιο δυναμικό του νεαρού Ισαάκ και τον παρακινησε να σπουδάσει στο πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ, όπου, πράγματι, φοίτησε πέντε χρόνια και πήρε το διπλωμα του, χωρίς να διακριθεί ιδιαίτερα.

Συνέχεια