Ισορροπία ράβδου και α.α.τ. (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Η ράβδος ΟΒ είναι ομογενής έχει βάρος  και έχει μήκος . Το ένα άκρο της Ο στηρίζεται σε τοίχο με άρθρωση, ενώ στο άλλο έχουμε δέσει νήμα το οποίο σχηματίζει γωνία  με το οριζόντιο επίπεδο. Πάνω στη ράβδο βρίσκεται οριζόντιο ελατήριο σταθεράς  που στο ένα άκρο του έχουμε δέσει σώμα μάζας  που ισορροπεί ακίνητο. Το φυσικό μήκος του ελατηρίου είναι . Τη χρονική στιγμή  εκτοξεύεται το σώμα με ταχύτητα  προς τα δεξιά ,οπότε το σώμα ξεκινάει να εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. (Υπόδειξη: Ως θετική φορά θεωρείστε τη κατεύθυνση προς τα δεξιά.)



Να βρεθεί:

α) Η τάση του νήματος πριν την εκτόξευση του σώματος.

β) Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος.

γ) Η τάση του νήματος τη χρονική στιγμή .

δ) Το μέτρο της δύναμης που δέχεται το σώμα από την άρθρωση τη χρονική στιγμή .

ΛΥΣΗ

Μία ράβδος ισορροπεί σε τραχύ έδαφος (Από τις ασκήσεις του Υ.Παι.Θ.)

Μια ράβδος ομογενής ΑΒ μήκους  και βάρους  ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα στηριζόμενη στο άκρο της Α σε λείο τοίχο και στο άκρο της Β σε τραχύ έδαφος. Δίνεται ότι η ελάχιστη γωνία για την οποία η ράβδος δεν ολισθαίνει είναι  και ότι.

Ζητείται:

α)Η κάθετη δύναμη που ασκεί το έδαφος στη ράβδο.

β) Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου-εδάφους καθώς και τη δύναμη που ασκεί ο λείος τοίχος στη ράβδο.

γ)Το μέτρο της δύναμης (αντίδρασης) του εδάφους στη ράβδο.

ΛΥΣΗ

Στροφική κίνηση τροχαλίας και μεταφορική κίνηση σώματος (από τις ασκήσεις του Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Η τροχαλία του σχήματος έχει ακτίνα  και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα χωρίς τριβές. Από το αυλάκι της τροχαλίας είναι δεμένο με αβαρές μη εκτατό νήμα ένα σώμα Σ. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα και αυτό κατεβαίνοντας αποκτά επιτάχυνση  ενώ η τροχαλία εκτελεί στροφική κίνηση.

Θεωρούμε ότι το νήμα δε γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας.

Ζητείται:
α) Να συγκριθούν η ταχύτητα πτώσης του Σ και η ταχύτητα λόγω στροφικής κίνησης των σημείων της περιφέρειας της τροχαλίας.
β) Η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας  αφού αφήσουμε το σώμα ελεύθερο.
γ) Όταν το σώμα έχει κατέβει κατά , πόσες στροφές θα έχει εκτελέσει η τροχαλία.
δ) Τη χρονική στιγμή  κόβουμε το νήμα και το σώμα πλέον πέφτει με επιτάχυνση . Να βρεθεί η γωνία που διέγραψε η τροχαλία από τη στιγμή που κόψαμε το νήμα έως τη στιγμή που το σώμα απέχει από την τροχαλία .

ΛΥΣΗ

ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ (Απο τις ασκήσεις του Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Ενα στερεό αποτελείται από 2 κατακόρυφους ομοαξονικούς κυλίνδρους κολλημένους μεταξύ τους που έχουν ακτίνες  και . Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον κοινό οριζόντιο άξονα των 2 κυλίνδρων σαν ένα σώμα. Στην περιφέρεια του κυλίνδρου ακτίνας  έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα. Τραβάμε το νήμα οριζόντια με επιτάχυνση  ώστε το νήμα να ξετυλίγεται και το στερεό να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. 

Ζητείται:
α) Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του στερεού.
β) Όταν έχει ξετυλιχθεί μήκος νήματος , πόσο έχει μετακινηθεί το κέντρο μάζας του στερεού.
γ) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκείνη τη στιγμή (αν δίνεται ότι η ακτίνα του μικρού κυλίνδρου είναι ).
δ) Να βρεθεί η ταχύτητα του υψηλότερου σημείου του στερεού εκείνη τη στιγμή.
ΛΥΣΗ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ (απο τις ασκήσεις του Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Ένα τρακτέρ έχει τροχούς με διαμέτρους  και  και αρχικά κινείται με ταχύτητα . Ο οδηγός πατάει φρένο για κάποιο λόγο και οι τροχοί αρχίζουν να επιβραδύνονται. Αν γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση του τρακτέρ είναι σταθερή και ίση με , να βρεθούν:

α) Η αρχική γωνιακή ταχύτητα του κάθε τροχού καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει κάθε τροχός.

β) Το συνολικό διάστημα μέχρι το τρακτέρ να σταματήσει.

γ) Μετά από μετατόπιση  από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται το τρακτέρ, από το ψηλότερο σημείο του μεγαλύτερου τροχού ξεκολλάει ένα κομμάτι λάσπης μάζας .

   i) Με τι ταχύτητα ξεκολλάει αυτό το κομμάτι μάζας ;

   ii) Η συνολική εφαπτομενική επιτάχυνση που έχει το κομμάτι λάσπης ελάχιστα πριν ξεκολλήσει.

Λύση

ΑΝΑΚΛΑΣΗ-ΔΙΑΘΛΑΣΗ-ΟΛΙΚΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ (απο τις ασκήσεις του Υ.ΠΑΙ.Θ.)

Μονοχρωματική φωτεινή ακτινοβολία διαδίδεται σε γυάλινο σώμα, όπου το μήκος κύματος της ακτινοβολίας ισούται με . Η ακτινοβολία προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του σώματος με τον αέρα με γωνία πρόσπτωσης  και ένα μέρος της διαθλάται. Η διαθλώμενη ακτινοβολία διαδίδεται με ταχύτητα κατά 40% μεγαλύτερη από την αντίστοιχη εντός του γυάλινου σώματος. Να υπολογίσετε:

α) το δείκτη διαθλάσεως του γυάλινου σώματος.

β) το μήκος κύματος της ακτινοβολίας όταν αυτή διαδίδεται στον αέρα.

γ) τη γωνία διάθλασης.

δ) την τιμή που θα έπρεπε να έχει η γωνία πρόσπτωσης, ώστε η ακτίνα να διαθλαστεί εφαπτόμενα της διαχωριστικής επιφάνειας.

Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στον αέρα .

Για τις πράξεις να θεωρήσετε ότι .

Λύση